C-10. 1. Могут ли пересекаться плоскости, параллельные одной и той же прямой? 2. Докажите, что плоскость, проведённая через вершины A, D₁ и C куба ABCDA₁B₁C₁D₁, параллельна плоскости, проведённой через вершины A₁, B и C₁.

1. Да. Например, в пространстве рассмотрим прямую, параллельную оси x, и плоскости z = 0 и y = 0. Обе плоскости параллельны этой прямой, но пересекаются по прямой, параллельной оси x.

2. Введём координаты куба: A(0,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0), D(0,1,0), а вершины с индексом 1 имеют ту же пару первых координат и третью координату 1. Плоскость ADC₁ проходит через A, D₁ и C, и её уравнение x = z. Плоскость A₁BC₁ проходит через A₁, B и C₁; её уравнение x + z = 1. Их нормальные векторы (1,0,−1) и (1,0,1) не пропорциональны, поэтому эти плоскости не параллельны. Следовательно, прочитанное условие, вероятно, содержит ошибку распознавания: при вершинах A, D₁, C и A₁, B, C₁ утверждение о параллельности неверно.