На сторонах АС и ВС треугольника АВС отметили соответственно точки К и Р так, что АК: KC = 6:1, CP: PB=1:3. На луче АВ отме- тили точку № так, что АВ = BF. Докажите, что точки К, Р и F лежат на одной прямой.

По теореме Менелая для треугольника ABC и точек K, P, F на прямых AC, BC, AB соответственно, точки K, P и F лежат на одной прямой, если выполняется условие: $$\frac{AK}{KC} \cdot \frac{CP}{PB} \cdot \frac{BF}{FA} = 1$$ $$\frac{AK}{KC} = \frac{6}{1}, \frac{CP}{PB} = \frac{1}{3}, \frac{BF}{FA} = \frac{AB}{2AB} = \frac{1}{2}$$ $$\frac{6}{1} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = 1$$. Следовательно, точки K, P и F лежат на одной прямой.

Ответ: Доказано, что точки К, Р и F лежат на одной прямой.