37.9*. Четырехугольник ABCD описан около окружности с центром О. Докажите, что сумма площадей треугольников АОВ и COD равна половине площади четырехугольника.

37.9*. Докажем, что сумма площадей треугольников АОВ и COD равна половине площади четырехугольника ABCD, если четырехугольник ABCD описан около окружности с центром О.

Площадь четырехугольника ABCD равна сумме площадей треугольников АОВ, BOC, COD, DOA.

Так как ABCD - описанный четырехугольник, то AB + CD = BC + AD.

Площадь треугольника АОВ равна $$S_{AOB} = \frac{1}{2} AB \cdot r$$, где r - радиус вписанной окружности.

Площадь треугольника COD равна $$S_{COD} = \frac{1}{2} CD \cdot r$$, где r - радиус вписанной окружности.

Площадь треугольника BOC равна $$S_{BOC} = \frac{1}{2} BC \cdot r$$, где r - радиус вписанной окружности.

Площадь треугольника DOA равна $$S_{DOA} = \frac{1}{2} AD \cdot r$$, где r - радиус вписанной окружности.

Тогда $$S_{ABCD} = S_{AOB} + S_{BOC} + S_{COD} + S_{DOA} = \frac{1}{2} AB \cdot r + \frac{1}{2} BC \cdot r + \frac{1}{2} CD \cdot r + \frac{1}{2} AD \cdot r = \frac{1}{2} r (AB + BC + CD + AD)$$.

Так как AB + CD = BC + AD, то $$AB + CD + BC + AD = 2(AB + CD)$$.

Тогда $$S_{ABCD} = \frac{1}{2} r \cdot 2(AB + CD) = r (AB + CD)$$.

Найдем $$S_{AOB} + S_{COD} = \frac{1}{2} r (AB + CD) = \frac{1}{2} S_{ABCD}$$.

Ответ: Доказано.