37.8. Равнобокая трапеция с основаниями 9 см и 16 см описана около окружности. Найдите радиус окружности.

37.8. Дано: равнобокая трапеция с основаниями 9 см и 16 см описана около окружности.

Найдем радиус окружности.

Пусть ABCD - данная трапеция, BC = 9 см, AD = 16 см.

По свойству описанного четырехугольника, суммы противоположных сторон равны, то есть

$$AB + CD = BC + AD$$

Так как трапеция равнобокая, то AB = CD.

$$2AB = BC + AD = 9 + 16 = 25$$

$$AB = \frac{25}{2} = 12.5$$ см.

Высота трапеции равна диаметру вписанной окружности.

Проведем высоту BH. Тогда AH = (AD - BC) / 2 = (16 - 9) / 2 = 7 / 2 = 3.5 см.

Из прямоугольного треугольника ABH найдем высоту BH:

$$BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{12.5^2 - 3.5^2} = \sqrt{156.25 - 12.25} = \sqrt{144} = 12$$ см.

Тогда радиус вписанной окружности равен:

$$r = \frac{BH}{2} = \frac{12}{2} = 6$$ см.

Ответ: 6 см.