37.11*. Докажите, что около четырехугольника EFPQ с вершинами в точках пересечения биссектрис внутренних углов произвольного четырехугольника ABCD можно описать окружность.

37.11*. Докажем, что около четырехугольника EFPQ с вершинами в точках пересечения биссектрис внутренних углов произвольного четырехугольника ABCD можно описать окружность.

Пусть E, F, P, Q - точки пересечения биссектрис углов A, B, C, D соответственно.

По теореме о сумме углов четырехугольника, сумма углов четырехугольника ABCD равна 360 градусов, то есть A + B + C + D = 360.

Треугольник ABE: угол AEB = 180 - A/2 - B/2.

Треугольник CPD: угол CPD = 180 - C/2 - D/2.

Тогда сумма углов AEB и CPD равна 180 - A/2 - B/2 + 180 - C/2 - D/2 = 360 - (A + B + C + D) / 2 = 360 - 360 / 2 = 360 - 180 = 180.

Угол AEB = углу QEP, угол CPD = углу PFE, как вертикальные углы.

Следовательно, угол QEP + угол PFE = 180. То есть сумма противоположных углов четырехугольника EFPQ равна 180, а значит, около него можно описать окружность.

Ответ: Доказано.