37.10*. Докажите, что высота описанной около окружности равнобокой трапеции с основания- ями a и b, равна √ab 2

37.10*. Докажем, что высота описанной около окружности равнобокой трапеции с основаниями a и b, равна $$\sqrt{ab}$$.

Пусть ABCD - равнобокая трапеция, описанная около окружности с основаниями BC = a и AD = b.

Проведем высоты BH и CE. Тогда AH = ED = (b - a) / 2.

Так как трапеция описана около окружности, то AB + CD = BC + AD. Так как AB = CD, то 2AB = a + b, AB = (a + b) / 2.

Из прямоугольного треугольника ABH найдем высоту BH:

$$BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{(\frac{a+b}{2})^2 - (\frac{b-a}{2})^2} = \sqrt{\frac{a^2 + 2ab + b^2}{4} - \frac{b^2 - 2ab + a^2}{4}} = \sqrt{\frac{4ab}{4}} = \sqrt{ab}$$.

Ответ: Доказано, высота трапеции равна $$\sqrt{ab}$$.