4. Четырехугольник ABCD задан координатами своих вершин A(-1; 1), B(3; 3), C(2; -2), D(-2; -1). Найдите синус угла между его диагоналями.

Найдем координаты векторов диагоналей AC и BD:

$$\vec{AC} = (2 - (-1); -2 - 1) = (3; -3)$$
$$\vec{BD} = (-2 - 3; -1 - 3) = (-5; -4)$$

Найдем косинус угла между диагоналями AC и BD:

$$\cos \varphi = \frac{\vec{AC} \cdot \vec{BD}}{|\vec{AC}| \cdot |\vec{BD}|} = \frac{3 \cdot (-5) + (-3) \cdot (-4)}{\sqrt{3^2 + (-3)^2} \cdot \sqrt{(-5)^2 + (-4)^2}} = \frac{-15 + 12}{\sqrt{18} \cdot \sqrt{41}} = \frac{-3}{\sqrt{18 \cdot 41}} = \frac{-3}{\sqrt{738}}$$

Найдем синус угла между диагоналями AC и BD:

$$\sin^2 \varphi + \cos^2 \varphi = 1$$
$$\sin \varphi = \sqrt{1 - \cos^2 \varphi} = \sqrt{1 - (\frac{-3}{\sqrt{738}})^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{738}} = \sqrt{\frac{738 - 9}{738}} = \sqrt{\frac{729}{738}} = \frac{27}{\sqrt{738}} = \frac{27}{\sqrt{9 \cdot 82}} = \frac{27}{3\sqrt{82}} = \frac{9}{\sqrt{82}}$$

Ответ: $$\frac{9}{\sqrt{82}}$$