Вариант 2 1. В треугольнике АВС АВ = 5 см, ВС = 4 см, а его площадь равна 5√3 см². Найдите третью сторону треугольника, если из-

Известны две стороны (AB = 5, BC = 4) и площадь треугольника (S = 5√3). Используем формулу площади:

$$S = \frac{1}{2} AB \cdot BC \cdot \sin B$$
$$5\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4 \cdot \sin B$$
$$5\sqrt{3} = 10 \sin B$$
$$\sin B = \frac{5\sqrt{3}}{10} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Угол B может быть равен 60° или 120°.

Теперь, используя теорему косинусов, найдем третью сторону (AC) для обоих случаев:

Случай 1: B = 60°

$$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B$$
$$AC^2 = 5^2 + 4^2 - 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot \cos 60^\circ$$

Учитывая, что $$ \cos 60^\circ = \frac{1}{2} $$, получаем:

$$AC^2 = 25 + 16 - 40 \cdot \frac{1}{2}$$
$$AC^2 = 41 - 20$$
$$AC^2 = 21$$
$$AC = \sqrt{21}$$

Случай 2: B = 120°

$$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B$$
$$AC^2 = 5^2 + 4^2 - 2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot \cos 120^\circ$$

Учитывая, что $$ \cos 120^\circ = -\frac{1}{2} $$, получаем:

$$AC^2 = 25 + 16 - 40 \cdot (-\frac{1}{2})$$
$$AC^2 = 41 + 20$$
$$AC^2 = 61$$
$$AC = \sqrt{61}$$

Ответ: $$\sqrt{21}$$ или $$\sqrt{61}$$