4.*В ромбе АBCD AK – биссектриса угла САB, ∠BAD = 60° ВК = 12 см. Найдите площадь ромба.

В ромбе ABCD угол BAD равен 60°, следовательно, угол ABC равен 180° - 60° = 120°.

AK - биссектриса угла CAB, значит, угол BAK = угол KAC = 60°/2 = 30°.

Рассмотрим треугольник ABK. Угол BAK = 30°, угол ABK = 120°.

Тогда угол AKB равен 180° - 30° - 120° = 30°.

Так как угол BAK = угол AKB = 30°, треугольник ABK - равнобедренный, и AB = BK = 12 см.

Площадь ромба можно найти по формуле:

$$S = a^2 \sin \alpha$$

где a - сторона ромба, \(\alpha\) - угол ромба.

$$S = 12^2 \sin 60^\circ = 144 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 72\sqrt{3}$$

Ответ: $$72\sqrt{3}$$