3. В параллелограмме ABCD AB = 4 см, AD = 5√2 см, ∠A = 45°. Найдите диагонали параллелограмма.

В параллелограмме ABCD известны две стороны (AB = 4, AD = 5√2) и угол между ними (∠A = 45°).

Используем теорему косинусов для нахождения диагонали BD:

$$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos A$$
$$BD^2 = 4^2 + (5\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 4 \cdot 5\sqrt{2} \cdot \cos 45^\circ$$

Учитывая, что $$ \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $$, получаем:

$$BD^2 = 16 + 50 - 40\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$$
$$BD^2 = 66 - 40$$
$$BD^2 = 26$$
$$BD = \sqrt{26}$$

Используем теорему косинусов для нахождения диагонали AC (угол между сторонами AB и AD равен 180° - 45° = 135°):

$$AC^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos (180^\circ - A)$$
$$AC^2 = 4^2 + (5\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 4 \cdot 5\sqrt{2} \cdot \cos 135^\circ$$

Учитывая, что $$ \cos 135^\circ = -\frac{\sqrt{2}}{2} $$, получаем:

$$AC^2 = 16 + 50 - 40\sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})$$
$$AC^2 = 66 + 40$$
$$AC^2 = 106$$
$$AC = \sqrt{106}$$

Ответ: $$ BD = \sqrt{26} $$, $$ AC = \sqrt{106} $$