C3 Из точки А построены три взаимоперпендикулярных отрезка АВ, АС и AD. Найдите длину отрезка BD если АС-а, ВC=B, CD = c

Так как отрезки $$AB, AC, AD$$ взаимно перпендикулярны, то $$AB \perp AC, AB \perp AD, AC \perp AD$$.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$: $$AB \perp AC$$, следовательно, треугольник $$ABC$$ - прямоугольный. По теореме Пифагора:

$$BC^2 = AB^2 + AC^2$$

$$b^2 = AB^2 + a^2$$

$$AB^2 = b^2 - a^2$$

$$AB = \sqrt{b^2 - a^2}$$

Рассмотрим треугольник $$ABD$$: $$AB \perp AD$$, следовательно, треугольник $$ABD$$ - прямоугольный. По теореме Пифагора:

$$BD^2 = AB^2 + AD^2$$

$$BD = \sqrt{AB^2 + AD^2}$$

Рассмотрим треугольник $$ACD$$: $$AC \perp AD$$, следовательно, треугольник $$ACD$$ - прямоугольный. По теореме Пифагора:

$$CD^2 = AC^2 + AD^2$$

$$c^2 = a^2 + AD^2$$

$$AD^2 = c^2 - a^2$$

$$AD = \sqrt{c^2 - a^2}$$

Подставим в формулу для $$BD$$:

$$BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{b^2 - a^2 + c^2 - a^2} = \sqrt{b^2 + c^2 - 2a^2}$$

Ответ: $$\sqrt{b^2 + c^2 - 2a^2}$$