180. Дан куб $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ (рис. 232). Найдите углы всех треугольников, которые являются гранями пирамиды $$D_1A_1C_1D$$.

Пирамида $$D_1A_1C_1D$$ состоит из граней $$D_1A_1D$$, $$D_1C_1D$$, $$D_1A_1C_1$$ и $$A_1C_1D$$. Треугольники $$D_1A_1D$$ и $$D_1C_1D$$ - прямоугольные и равные. $$D_1A_1=D_1C_1=a\sqrt{2}$$, где $$a$$ - ребро куба, а $$AD=CD=a$$. Таким образом, $$\tan(\angle D_1AD) = \frac{D_1D}{AD} = \frac{a}{a}=1$$, следовательно, $$\angle D_1AD=45^{\circ}$$. Т.к. треугольник прямоугольный, то $$\angle AD_1A = 45^{\circ}$$ и $$\angle AA_1D_1 = 90^{\circ}$$. Треугольник $$D_1A_1C_1$$ - равносторонний, следовательно все углы $$60^{\circ}$$. Треугольник $$A_1C_1D$$ - прямоугольный, $$A_1D = C_1D = a \sqrt{2}$$, значит, углы $$45^{\circ}$$, $$45^{\circ}$$ и $$90^{\circ}$$.