181. Треугольник АВС — равнобедренный, АВ = ВС. На луче АВ отложен отрезок BD за точку В такой, что ВD=АВ. Докажите, что треугольник ACD — прямоугольный.

Пусть $$\angle BAC = \angle BCA = \alpha$$. Тогда $$\angle ABC = 180 - 2\alpha$$. Так как $$BD = AB$$, то $$AD = 2AB$$. В треугольнике $$ACD$$, $$AC = 2AB \cos(\alpha)$$. По теореме косинусов в треугольнике ABC, $$AC^2=AB^2+BC^2 - 2AB\cdot BC\cdot \cos(180-2\alpha)$$, т.к. $$\cos(180-2\alpha)=-\cos(2\alpha)$$, то $$AC^2 = 2AB^2 + 2AB^2 \cos(2\alpha) = 2AB^2 (1 + \cos(2\alpha))$$. T.к. $$1+\cos(2\alpha)=2\cos^2(\alpha)$$, то $$AC^2=4AB^2\cos^2(\alpha)$$, значит, $$AC=2AB\cos(\alpha)$$. Теперь рассмотрим треугольник ACD, $$AD=2AB$$ и $$CD^2 = BC^2 + BD^2 - 2BC\cdot BD \cos(\angle CBD)$$. Т.к. $$\angle CBD = 180 - \angle ABC=180 - (180-2\alpha)=2\alpha$$, то $$CD^2=AB^2+AB^2-2AB^2\cos(2\alpha) = 2AB^2(1-\cos(2\alpha)) = 2AB^2 (2\sin^2(\alpha))=4AB^2\sin^2(\alpha)$$. Теперь проверим теорему Пифагора для треугольника $$ACD$$, $$AD^2 = (2AB)^2 = 4AB^2$$, $$AC^2 = 4AB^2\cos^2(\alpha)$$, $$CD^2 = 4AB^2\sin^2(\alpha)$$. Т.к. $$AC^2+CD^2=4AB^2(\cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha))=4AB^2$$, то $$AC^2 + CD^2 = AD^2$$, следовательно, треугольник ACD - прямоугольный.