182. Треугольник АВС — равнобедренный, AB=BC, AK — биссектриса, AK = BK. Найдите углы треугольника АВС.

Пусть $$\angle BAK = x$$. Так как AK - биссектриса, то $$\angle BAC = 2x$$. Т.к. $$AB=BC$$, то $$\angle BCA = \angle BAC = 2x$$. Т.к. $$AK=BK$$, то треугольник ABK равнобедренный, значит $$\angle ABK = \angle BAK = x$$. $$\angle ABC = 180 - \angle BAC - \angle BCA = 180 - 4x$$. С другой стороны, $$\angle ABC = \angle ABK + \angle CBK = x + \angle CBK$$. Т.к. треугольник ABC равнобедренный, то углы при основании равны, значит углы BAC и BCA равны $$2x$$. $$\angle ABC = 180 - 2x - 2x = 180 - 4x$$. Сумма углов в треугольнике ABK равна $$x+x+\angle AKB = 180$$, отсюда $$\angle AKB = 180-2x$$. Тогда внешний угол $$\angle AKC = 2x$$. Рассмотрим треугольник AKC, где $$\angle AKC = 2x, \angle ACK = 2x$$, следовательно $$\angle KAC = 180-4x$$. Т.к. АК биссектриса, то $$\angle BAK = x$$. Получается $$\angle BAC = 2x$$. Угол \(\angle\) ABC = 180 - 4x. T.к. $$\angle ABK = x$$, то $$\angle CBK = 180 - 5x$$. Но тогда в треугольнике CBK, два угла $$180 - 5x$$ и $$2x$$. $$x+2x + (180 - 5x) = 180$$, значит $$3x = 36$$. Ответ: 36, 36, 72, 72, 108.