2.7. Какой угол образуют единичные векторы а и Б, если векторы m=а+26 и п = 5а – 46 взаимно перпендикулярны?

Привет! Найдем угол между единичными векторами.

Пошаговое решение:

• Так как векторы \( \vec{m} \) и \( \vec{n} \) перпендикулярны, то \( \vec{m} \cdot \vec{n} = 0 \).
• Запишем скалярное произведение векторов \( \vec{m} = \vec{a} + 2\vec{b} \) и \( \vec{n} = 5\vec{a} - 4\vec{b} \):
• \[ (\vec{a} + 2\vec{b}) \cdot (5\vec{a} - 4\vec{b}) = 5(\vec{a} \cdot \vec{a}) - 4(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 10(\vec{b} \cdot \vec{a}) - 8(\vec{b} \cdot \vec{b}) = 0 \].
• Упростим выражение:
• \[ 5|\vec{a}|^2 + 6(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 8|\vec{b}|^2 = 0 \].
• Так как \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \) – единичные векторы, то \( |\vec{a}| = 1 \) и \( |\vec{b}| = 1 \).
• Тогда:
• \[ 5 \cdot 1^2 + 6(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 8 \cdot 1^2 = 0 \].
• \[ 5 + 6(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 8 = 0 \].
• \[ 6(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 3 \].
• \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \].
• Теперь вспомним, что \( \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot cos(\varphi) \), где \( \varphi \) – угол между векторами \( \vec{a} \) и \( \vec{b} \).
• Тогда:
• \[ 1 \cdot 1 \cdot cos(\varphi) = \frac{1}{2} \].
• \[ cos(\varphi) = \frac{1}{2} \].
• \[ \varphi = arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3} = 60^\circ \].

Ответ: Угол между единичными векторами равен 60 градусов.