2.5. Найти проекцию вектора а = {√2;−3;−5} на ось, составляющую с координатными осями Ох и Oz углы 45° и 60° соответственно, а с осью Оу – острый угол.

Привет! Сейчас найдем проекцию вектора.

Пошаговое решение:

• Обозначим направляющие косинусы оси как \( cos(\alpha), cos(\beta), cos(\gamma) \), где \( \alpha, \beta, \gamma \) – углы между осью и координатными осями Ox, Oy, Oz соответственно.
• Нам даны \( \alpha = 45^\circ \) и \( \gamma = 60^\circ \).
• Тогда \( cos(\alpha) = cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \) и \( cos(\gamma) = cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \).
• Нам нужно найти \( cos(\beta) \).
• Используем свойство, что \( cos^2(\alpha) + cos^2(\beta) + cos^2(\gamma) = 1 \).
• \[ (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + cos^2(\beta) + (\frac{1}{2})^2 = 1 \].
• \[ \frac{2}{4} + cos^2(\beta) + \frac{1}{4} = 1 \].
• \[ cos^2(\beta) = 1 - \frac{2}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4} \].
• Тогда \( cos(\beta) = \pm \frac{1}{2} \).
• Так как угол с осью Oy острый, то \( cos(\beta) = \frac{1}{2} \) (потому что косинус острого угла положительный).
• Теперь найдем проекцию вектора \( \vec{a} \) на ось:
• \[ пр_l \vec{a} = |\vec{a}| \cdot cos(\theta) = a_x \cdot cos(\alpha) + a_y \cdot cos(\beta) + a_z \cdot cos(\gamma) \], где \( a_x, a_y, a_z \) – координаты вектора \( \vec{a} \).
• \[ пр_l \vec{a} = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + (-3) \cdot \frac{1}{2} + (-5) \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - \frac{5}{2} = 1 - \frac{3}{2} - \frac{5}{2} = \frac{2 - 3 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \].

Ответ: Проекция вектора равна -3.