8. Дана функция f(x) = - -36x+1. Определите промежутки монотонности этой функции.

8. Дана функция $$f(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} - 36x + 1$$. Определите промежутки монотонности этой функции.

Решение:

1. Найдем производную функции: $$f'(x) = x^2 - 5x - 36$$.
2. Найдем нули производной:
   $$x^2 - 5x - 36 = 0$$
   $$D = (-5)^2 - 4(1)(-36) = 25 + 144 = 169$$
   $$x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{169}}{2(1)} = \frac{5 + 13}{2} = \frac{18}{2} = 9$$
   $$x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{169}}{2(1)} = \frac{5 - 13}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$
3. Определим знаки производной на интервалах:

        +       -        +
---(-4)----(9)----> x
f'(x)>0  f'(x)<0  f'(x)>0

• На интервале $$(-\infty, -4)$$ функция возрастает, так как $$f'(x) > 0$$.
• На интервале $$(-4, 9)$$ функция убывает, так как $$f'(x) < 0$$.
• На интервале $$(9, +\infty)$$ функция возрастает, так как $$f'(x) > 0$$.

Ответ: Функция возрастает на интервалах $$(-\infty, -4)$$ и $$(9, +\infty)$$, убывает на интервале $$(-4, 9)$$.