8. Дана функция f(x) = -52-36x+1. Определите промежутки монотонности этой функции.

Дана функция $$f(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} - 36x + 1$$. Чтобы определить промежутки монотонности, нужно найти производную функции и определить её знаки.

Найдём производную функции:

$$f'(x) = x^2 - 5x - 36$$

Найдём нули производной:

$$x^2 - 5x - 36 = 0$$

$$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169$$

$$x_1 = \frac{5 + \sqrt{169}}{2} = \frac{5 + 13}{2} = \frac{18}{2} = 9$$

$$x_2 = \frac{5 - \sqrt{169}}{2} = \frac{5 - 13}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$

Производная равна нулю в точках $$-4$$ и $$9$$. Рассмотрим знаки производной на промежутках:

• $$x < -4$$, например, $$x = -5$$: $$f'(-5) = (-5)^2 - 5 \cdot (-5) - 36 = 25 + 25 - 36 = 14 > 0$$. Функция возрастает.
• $$-4 < x < 9$$, например, $$x = 0$$: $$f'(0) = 0^2 - 5 \cdot 0 - 36 = -36 < 0$$. Функция убывает.
• $$x > 9$$, например, $$x = 10$$: $$f'(10) = 10^2 - 5 \cdot 10 - 36 = 100 - 50 - 36 = 14 > 0$$. Функция возрастает.

Ответ: Функция возрастает на промежутках $$(-\infty, -4)$$ и $$(9, +\infty)$$. Функция убывает на промежутке $$(-4, 9)$$.