8. Дана функция f(x)=-52-36x+1. Определите промежутки монотонности этой функции.

Дана функция $$f(x) = \frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} - 36x + 1$$.

Найдем производную функции:

$$f'(x) = x^2 - 5x - 36$$

Найдем нули производной:

$$x^2 - 5x - 36 = 0$$

$$D = (-5)^2 - 4(1)(-36) = 25 + 144 = 169$$

$$x_1 = \frac{5 + \sqrt{169}}{2} = \frac{5 + 13}{2} = \frac{18}{2} = 9$$

$$x_2 = \frac{5 - \sqrt{169}}{2} = \frac{5 - 13}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$

Определим знаки производной на промежутках:

• $$(-\infty; -4)$$: $$f'(-5) = (-5)^2 - 5(-5) - 36 = 25 + 25 - 36 = 14 > 0$$, функция возрастает.
• $$(-4; 9)$$: $$f'(0) = 0^2 - 5(0) - 36 = -36 < 0$$, функция убывает.
• $$(9; +\infty)$$: $$f'(10) = (10)^2 - 5(10) - 36 = 100 - 50 - 36 = 14 > 0$$, функция возрастает.

Ответ: Функция возрастает на промежутках $$(-\infty; -4]$$ и $$[9; +\infty)$$. Функция убывает на промежутке $$[-4; 9]$$