4. Дано: ABCD - прямоугольник, AB = 6√3, FC 1 (ABC), FAB = 30°.

В прямоугольнике ABCD AB = CD, BC = AD. FC перпендикулярна плоскости ABC, следовательно, FC перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в частности AB и BC.

FAB = 30°. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABF. Угол FAB = 30°. Сумма углов в треугольнике равна 180°, следовательно, угол AFB = 180° - 90° - 30° = 60°.

Катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. Значит FB = 2AB = 2 * 6√3 = 12√3.

По теореме Пифагора:

$$FB^2 = AB^2 + FA^2$$

$$FA^2 = FB^2 - AB^2 = (12\sqrt{3})^2 - (6\sqrt{3})^2 = 144 \cdot 3 - 36 \cdot 3 = 432 - 108 = 324$$

$$FA = \sqrt{324} = 18$$

Расстояние от точки F до прямой AB - это FA = 18.

Ответ: 18