1. Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Требуется найти: 1) длины векторов АВ, АС, AD; 2) угол между векторами АВ И AC; 3) проекцию вектора AD на вектор АВ; 4) площадь грани АВС; 5) объем пирамиды ABCD. A(-6;0;12), B(12;-9;-6), C(21;-6;6), D(-3;6;18

1. Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Требуется найти:

1) длины векторов АВ, АС, AD;

2) угол между векторами АВ и AC;

3) проекцию вектора AD на вектор АВ;

4) площадь грани АВС;

5) объем пирамиды ABCD.

A(-6;0;12), B(12;-9;-6), C(21;-6;6), D(-3;6;18)

Решение:

1) Найдем длины векторов АВ, АС, AD:

Вектор АВ = (12 - (-6); -9 - 0; -6 - 12) = (18; -9; -18)

Вектор АС = (21 - (-6); -6 - 0; 6 - 12) = (27; -6; -6)

Вектор AD = (-3 - (-6); 6 - 0; 18 - 12) = (3; 6; 6)

Длина вектора АВ = $$|AB| = \sqrt{18^2 + (-9)^2 + (-18)^2} = \sqrt{324 + 81 + 324} = \sqrt{729} = 27$$

Длина вектора АС = $$|AC| = \sqrt{27^2 + (-6)^2 + (-6)^2} = \sqrt{729 + 36 + 36} = \sqrt{801} = 3\sqrt{89}$$

Длина вектора AD = $$|AD| = \sqrt{3^2 + 6^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 36 + 36} = \sqrt{81} = 9$$

2) Найдем угол между векторами АВ и AC:

$$cos \alpha = \frac{AB \cdot AC}{|AB| \cdot |AC|} = \frac{18 \cdot 27 + (-9) \cdot (-6) + (-18) \cdot (-6)}{27 \cdot 3\sqrt{89}} = \frac{486 + 54 + 108}{81\sqrt{89}} = \frac{648}{81\sqrt{89}} = \frac{8}{\sqrt{89}}$$

$$\alpha = arccos(\frac{8}{\sqrt{89}})$$

3) Найдем проекцию вектора AD на вектор АВ:

$$AD_{AB} = |AD| \cdot cos \beta$$

$$cos \beta = \frac{AD \cdot AB}{|AD| \cdot |AB|} = \frac{3 \cdot 18 + 6 \cdot (-9) + 6 \cdot (-18)}{9 \cdot 27} = \frac{54 - 54 - 108}{243} = -\frac{108}{243} = -\frac{4}{9}$$

$$AD_{AB} = 9 \cdot (-\frac{4}{9}) = -4$$

4) Найдем площадь грани АВС:

Площадь грани АВС равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах AB и AC.

Векторное произведение [AB, AC] = ((-9)*(-6) - (-18)*(-6); (-18)*27 - 18*(-6); 18*(-6) - (-9)*27) = (54-108; -486+108; -108+243) = (-54; -378; 135)

Площадь грани АВС = $$ \frac{1}{2} |[AB, AC]| = \frac{1}{2} \sqrt{(-54)^2 + (-378)^2 + 135^2} = \frac{1}{2} \sqrt{2916 + 142884 + 18225} = \frac{1}{2} \sqrt{164025} = \frac{1}{2} 405 = 202.5$$

5) Найдем объем пирамиды ABCD:

Объем пирамиды равен одной шестой модуля смешанного произведения векторов AB, AC, AD.

Смешанное произведение (AB, AC, AD) = AB \cdot [AC, AD] = (18; -9; -18) \cdot ((-6)*6 - (-6)*6; (-6)*3 - 27*6; 27*6 - (-6)*3) = (18; -9; -18) \cdot (-36+36; -18-162; 162+18) = (18; -9; -18) \cdot (0; -180; 180) = 18*0 + (-9)*(-180) + (-18)*180 = 0 + 1620 - 3240 = -1620

Объем пирамиды = $$ \frac{1}{6} |(AB, AC, AD)| = \frac{1}{6} |-1620| = \frac{1}{6} 1620 = 270$$

Ответ:

1) Длина вектора АВ = 27, длина вектора АС = $$3\sqrt{89}$$, длина вектора AD = 9

2) Угол между векторами АВ и АС = $$arccos(\frac{8}{\sqrt{89}})$$.

3) Проекция вектора AD на вектор АВ = -4.

4) Площадь грани АВС = 202.5.

5) Объем пирамиды ABCD = 270.