6. На векторах a{1; 1; 3 2} и b=i+2j+9 2k построен параллелограмм. Найти площадь параллелограмма, сторонами которого являются диагонали данного параллелограмма.

6. На векторах $$\vec{a}\begin{Bmatrix}1\\1\\\frac{3}{2}\end{Bmatrix}$$ и $$\vec{b} = i+2j+\frac{9}{2}k$$ построен параллелограмм. Найти площадь параллелограмма, сторонами которого являются диагонали данного параллелограмма.

Решение:

$$\vec{a} = (1; 1; \frac{3}{2})$$

$$\vec{b} = (1; 2; \frac{9}{2})$$

Диагонали параллелограмма: $$\vec{d_1} = \vec{a} + \vec{b} = (2; 3; 6)$$, $$\vec{d_2} = \vec{a} - \vec{b} = (0; -1; -3)$$

Площадь параллелограмма, построенного на диагоналях, равна половине модуля векторного произведения диагоналей.

$$\vec{d_1} \times \vec{d_2} = (3 \cdot (-3) - 6 \cdot (-1); 6 \cdot 0 - 2 \cdot (-3); 2 \cdot (-1) - 3 \cdot 0) = (-9+6; 0+6; -2 - 0) = (-3; 6; -2)$$.

$$\text{Площадь} = \frac{1}{2} |\vec{d_1} \times \vec{d_2}| = \frac{1}{2} \sqrt{(-3)^2 + 6^2 + (-2)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{9 + 36 + 4} = \frac{1}{2} \sqrt{49} = \frac{7}{2} = 3.5$$

Ответ: Площадь параллелограмма равна 3.5