5. Даны три вершины треугольника: A (3;-1; 2) B(3; 0; 3) , C (2; -1; 1) . Найти его высоту, приняв ВС за основание (через площадь треугольника).

5. Даны три вершины треугольника: A (3;-1; 2), B(3; 0; 3), C (2; -1; 1) . Найти его высоту, приняв ВС за основание (через площадь треугольника).

Решение:

Найдем векторы АВ и АС:

АВ = (3 - 3; 0 - (-1); 3 - 2) = (0; 1; 1)

АС = (2 - 3; -1 - (-1); 1 - 2) = (-1; 0; -1)

Площадь треугольника равна половине модуля векторного произведения векторов AB и AC:

[AB, AC] = (1*(-1) - 1*0; 1*(-1) - 0*(-1); 0*0 - 1*(-1)) = (-1 - 0; -1 - 0; 0 + 1) = (-1; -1; 1)

Площадь = $$ \frac{1}{2} |[AB, AC]| = \frac{1}{2} \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 1^2} = \frac{1}{2} \sqrt{1 + 1 + 1} = \frac{1}{2} \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Найдем длину стороны BC:

ВС = (2 - 3; -1 - 0; 1 - 3) = (-1; -1; -2)

$$|BC| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$$

Высота, проведенная к стороне BC = $$h = \frac{2S}{|BC|} = \frac{2*\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{18}}{6} = \frac{3\sqrt{2}}{6} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Ответ: Высота треугольника, проведенная к стороне BC, равна $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$.