3. Найти площадь треугольника с вершинами А (-1; 3; 2), B (1; 2; 6), С (2; 5; 1) (средствами векторной алгебры).

3. Найти площадь треугольника с вершинами А (-1; 3; 2), B (1; 2; 6), С (2; 5; 1) (средствами векторной алгебры).

Решение:

Найдем векторы АВ и АС:

АВ = (1 - (-1); 2 - 3; 6 - 2) = (2; -1; 4)

АС = (2 - (-1); 5 - 3; 1 - 2) = (3; 2; -1)

Площадь треугольника равна половине модуля векторного произведения векторов AB и AC:

[AB, AC] = ((-1)*(-1) - 4*2; 4*3 - 2*(-1); 2*2 - (-1)*3) = (1 - 8; 12 + 2; 4 + 3) = (-7; 14; 7)

Площадь = $$ \frac{1}{2} |[AB, AC]| = \frac{1}{2} \sqrt{(-7)^2 + 14^2 + 7^2} = \frac{1}{2} \sqrt{49 + 196 + 49} = \frac{1}{2} \sqrt{294} = \frac{1}{2} 7\sqrt{6} = \frac{7\sqrt{6}}{2}$$

Ответ: Площадь треугольника равна $$\frac{7\sqrt{6}}{2}$$.