В параллелограмме ABCD даны векторы АВ =3i+2j-k и AD {2; 1; -2). Найти площадь параллелограмма, построенного на диагоналях параллелограмма ABCD.

В параллелограмме ABCD даны векторы АВ =3i+2j-k и AD {2; 1; -2). Найти площадь параллелограмма, построенного на диагоналях параллелограмма ABCD.

Решение:

Вектор АВ = (3; 2; -1), вектор AD = (2; 1; -2)

Диагонали параллелограмма АС и BD:

АС = АВ + AD = (3 + 2; 2 + 1; -1 + (-2)) = (5; 3; -3)

BD = AD - AB = (2 - 3; 1 - 2; -2 - (-1)) = (-1; -1; -1)

Площадь параллелограмма, построенного на диагоналях равна половине модуля векторного произведения диагоналей:

[AC, BD] = (3*(-1) - (-3)*(-1); (-3)*(-1) - 5*(-1); 5*(-1) - 3*(-1)) = (-3 - 3; 3 + 5; -5 + 3) = (-6; 8; -2)

Площадь = $$ \frac{1}{2} |[AC, BD]| = \frac{1}{2} \sqrt{(-6)^2 + 8^2 + (-2)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{36 + 64 + 4} = \frac{1}{2} \sqrt{104} = \frac{1}{2} 2\sqrt{26} = \sqrt{26}$$

Ответ: Площадь параллелограмма равна $$\sqrt{26}$$.