2. Даны три вершины параллелограмма А (3;-2; 4) B (4; 0; 3) , С (7; 1; 5) . Найти длину высоты, опущенной из вершины С (через площадь параллелограмма).

2. Даны три вершины параллелограмма А (3;-2; 4), B (4; 0; 3) , С (7; 1; 5) . Найти длину высоты, опущенной из вершины С (через площадь параллелограмма).

Решение:

Векторы АВ и АD являются сторонами параллелограмма. Найдем вектор АВ:

АВ = (4 - 3; 0 - (-2); 3 - 4) = (1; 2; -1)

Найдем вектор АС:

АС = (7 - 3; 1 - (-2); 5 - 4) = (4; 3; 1)

Вектор AD найдем как AD = AC - AB = (4 - 1; 3 - 2; 1 - (-1)) = (3; 1; 2)

Найдем площадь параллелограмма, построенного на векторах AB и AD:

[AB, AD] = (2*2 - (-1)*1; (-1)*3 - 1*2; 1*1 - 2*3) = (4 + 1; -3 - 2; 1 - 6) = (5; -5; -5)

Площадь параллелограмма = $$|[AB, AD]| = \sqrt{5^2 + (-5)^2 + (-5)^2} = \sqrt{25 + 25 + 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}$$

Длина стороны АВ = $$|AB| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$$

Высота, опущенная из вершины C = $$h = \frac{S}{|AB|} = \frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{5\sqrt{18}}{6} = \frac{5*3\sqrt{2}}{6} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$$

Ответ: Длина высоты, опущенной из вершины С равна $$\frac{5\sqrt{2}}{2}$$.