5. Диагональ FR ромба FDRO равна 40, а tg ∠DRF=0.75. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Пошаговое решение:

1. Пусть диагонали ромба FDRO пересекаются в точке K. Тогда FK = FR / 2 = 40 / 2 = 20.
2. В ромбе диагонали перпендикулярны, поэтому треугольник DFK прямоугольный. \( tg(\angle DRF) = \frac{DK}{FK} \), откуда \( DK = FK \cdot tg(\angle DRF) = 20 \cdot 0.75 = 15 \).
3. Диагональ DO = 2 * DK = 2 * 15 = 30.
4. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: \( S = \frac{1}{2} \cdot FR \cdot DO = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 30 = 600 \).
5. Сторона ромба \( FD = \sqrt{FK^2 + DK^2} = \sqrt{20^2 + 15^2} = \sqrt{400 + 225} = \sqrt{625} = 25 \).
6. Радиус вписанной окружности в ромб равен половине высоты ромба. Высота ромба равна \( h = \frac{S}{FD} = \frac{600}{25} = 24 \).
7. Радиус вписанной окружности \( r = \frac{h}{2} = \frac{24}{2} = 12 \).

Ответ: 12