Докажите, что ABCD — параллелограмм. 5) Дано: KPHT — параллелограмм; на рисунке отмечено PB = DT и PC = AT.

Пусть стороны параллелограмма KPHT заданы векторами \(\overrightarrow{PH}=u\) и \(\overrightarrow{PK}=v\). Тогда \(\overrightarrow{PT}=u+v\). По расположению точек B, C, D и A и отмеченным равенствам можно записать: \(B=t v\), \(C=s u\), \(D=u+(1-t)v\), \(A=(1-s)u+v\), где t и s — доли соответствующих сторон.

Тогда \(\overrightarrow{BC}=s u-t v\), а \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{D}-\overrightarrow{A}=-(s u-t v)\). Следовательно, BC ∥ AD. Одна пара противоположных сторон ABCD параллельна и равна, поэтому ABCD — параллелограмм.

Ответ: ABCD — параллелограмм.