Докажите, что ABCD — параллелограмм. 9) Дано: AKCF — параллелограмм; точки B, K, A лежат на одной прямой, C, F, D — на другой; диагонали AC и BD пересекаются в O, причём AO = OC.

Из AKCF — параллелограмма следует AK ∥ CF. По расположению точек AB лежит на прямой AK, а CD — на прямой CF, поэтому AB ∥ CD.

Точка O — середина AC, так как AO = OC. В параллелограмме AKCF диагонали AC и KF пересекаются и делятся пополам, поэтому O также является серединой KF. Центральная симметрия с центром O переводит A в C и K в F. Поскольку B, K, A лежат на одной прямой, а B, O, D — на одной прямой, эта симметрия переводит B в D; следовательно, BO = OD.

Диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD делятся точкой пересечения пополам, поэтому ABCD — параллелограмм.

Ответ: ABCD — параллелограмм.