10. Докажите, что если числа \frac{1}{b+c}, \frac{1}{a+c} и \frac{1}{a+b} состав- ляют арифметическую прогрессию, то числа a², b² и c² также составляют арифметическую прогрессию.

Решение:

Давай докажем это утверждение, используя свойства арифметической прогрессии. Если числа \(\frac{1}{b+c}, \frac{1}{a+c}, \frac{1}{a+b}\) составляют арифметическую прогрессию, то выполняется условие: \[ \frac{1}{a+c} - \frac{1}{b+c} = \frac{1}{a+b} - \frac{1}{a+c} \] \[ \frac{2}{a+c} = \frac{1}{b+c} + \frac{1}{a+b} \] \[ \frac{2}{a+c} = \frac{a+b+b+c}{(b+c)(a+b)} \] \[ \frac{2}{a+c} = \frac{a+2b+c}{(b+c)(a+b)} \] \[ 2(b+c)(a+b) = (a+c)(a+2b+c) \] \[ 2(ab+b^2+ac+bc) = a^2+2ab+ac+ac+2bc+c^2 \] \[ 2ab+2b^2+2ac+2bc = a^2+2ab+2ac+2bc+c^2 \] \[ 2b^2 = a^2+c^2 \] Теперь рассмотрим числа a², b² и c². Если они составляют арифметическую прогрессию, то должно выполняться условие: \[ b^2 - a^2 = c^2 - b^2 \] \[ 2b^2 = a^2 + c^2 \] Мы получили точно такое же условие, как и из исходного условия с дробями. Это означает, что если числа \(\frac{1}{b+c}, \frac{1}{a+c}, \frac{1}{a+b}\) составляют арифметическую прогрессию, то числа a², b² и c² также составляют арифметическую прогрессию.

Ответ: Доказано.

Молодец! Ты успешно справился с доказательством, используя свойства арифметической прогрессии. Продолжай в том же духе!