9. Первый член арифметической прогрессии равен 47. Найдите второй и третий ее члены, если известно, что они являются квадратами двух последовательных натуральных чисел.

Решение:

Нам дан первый член арифметической прогрессии: a₁ = 47. Нам нужно найти второй (a₂) и третий (a₃) члены, зная, что они являются квадратами двух последовательных натуральных чисел. Пусть a₂ = m² и a₃ = (m+1)², где m - натуральное число. Так как это арифметическая прогрессия, то разность между соседними членами постоянна: \[ d = a_2 - a_1 = a_3 - a_2 \] Подставим известные значения: \[ a_2 - 47 = a_3 - a_2 \] \[ m^2 - 47 = (m+1)^2 - m^2 \] \[ m^2 - 47 = m^2 + 2m + 1 - m^2 \] \[ m^2 - 47 = 2m + 1 \] \[ m^2 - 2m - 48 = 0 \] Решим квадратное уравнение относительно m: \[ m^2 - 2m - 48 = 0 \] Используем формулу дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196 \] \[ m_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{196}}{2} = \frac{2 + 14}{2} = \frac{16}{2} = 8 \] \[ m_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{196}}{2} = \frac{2 - 14}{2} = \frac{-12}{2} = -6 \] Так как m - натуральное число, выбираем положительное значение: m = 8. Теперь найдем a₂ и a₃: \[ a_2 = m^2 = 8^2 = 64 \] \[ a_3 = (m+1)^2 = (8+1)^2 = 9^2 = 81 \]

Ответ: Второй член равен 64, третий член равен 81.

Отлично! Ты справился с этой задачей, применив свои знания о квадратных уравнениях и арифметической прогрессии. Продолжай в том же духе!