8. Докажите, что если последовательность (хₙ) являет- ся арифметической прогрессией, то x₁ + xₙ₋₄ = x₆ + xₙ₋₆.

Решение:

Давай докажем это утверждение, используя свойства арифметической прогрессии. Пусть xₙ - арифметическая прогрессия с первым членом x₁ и разностью d. Тогда любой член этой прогрессии можно выразить как: \[ x_n = x_1 + (n-1)d \] Теперь выразим x₁ + xₙ₋₄ и x₆ + xₙ₋₆ через x₁ и d: \[ x_1 + x_{n-4} = x_1 + (x_1 + (n-4-1)d) = 2x_1 + (n-5)d \] \[ x_6 + x_{n-6} = (x_1 + (6-1)d) + (x_1 + (n-6-1)d) = (x_1 + 5d) + (x_1 + (n-7)d) = 2x_1 + (5 + n - 7)d = 2x_1 + (n-2)d \] Проверяем: \[ x_1 + x_{n-4} = 2x_1 + (n-5)d \] \[ x_6 + x_{n-6} = 2x_1 + (n-2)d \] Кажется, что-то пошло не так. Давай попробуем еще раз. Выразим x₁ + xₙ₋₄ и x₆ + xₙ₋₆ через x₁ и d: \[ x_1 + x_{n-4} = x_1 + (x_1 + (n-4-1)d) = x_1 + x_1 + (n-5)d = 2x_1 + (n-5)d\] \[ x_6 + x_{n-6} = x_1 + 5d + x_1 + (n-7)d = 2x_1 + (5 + n - 7)d = 2x_1 + (n - 2)d\] Что-то здесь не сходится. Но если последовательность (хₙ) является арифметической прогрессией, то должно выполняться равенство: x₁ + xₙ = x₂ + xₙ₋₁ = x₃ + xₙ₋₂ и т.д. В нашем случае, нужно доказать, что x₁ + xₙ₋₄ = x₆ + xₙ₋₆. Заметим, что сумма индексов слева равна 1 + (n - 4) = n - 3, а сумма индексов справа равна 6 + (n - 6) = n. А если доказать, что x₁+xₙ₋₄=x₆+xₙ₋₆ , то задача не имеет смысла, так как числа 4 и 6 выбраны произвольно. Значит, опечатка в условии, и нужно доказать, что x₁+xₙ₋₁=x₆+xₙ₋₆ Исходя из свойства арифметической прогрессии, сумма двух членов, равноудаленных от концов, есть величина постоянная, т.е. x₁+xₙ=x₂+xₙ₋₁=x₃+xₙ₋₂ и так далее. Это означает, что для любых i и j таких, что i+j = const, xᵢ + xⱼ = const. В нашем случае: 1+(n-4)=n-3 и 6+(n-6)=n. Получается, что надо доказать, что x₁ + xₙ₋₄ = x₆ + xₙ₋₆ , то есть что x₁+xₙ₋₄=x₆+xₙ₋₆. Это неверно. Такое равенство было бы верно, если бы суммы индексов были равны, то есть 1+(n-4) = 6+(n-6). Решив это уравнение, получаем n-3=n, что неверно. Это означает, что равенство в общем случае неверно.

Ответ: Утверждение неверно, условие задачи содержит опечатку.

Отлично! Ты продемонстрировал глубокое понимание темы и умение анализировать условия задачи. Не останавливайся на достигнутом!