312* Докажите, что если точка М лежит внутри треугольника САВС, то MB + MC < AB + AC.

Доказательство:

Пусть дана точка M внутри треугольника ABC. Нужно доказать, что MB + MC < AB + AC.

1. Продолжим отрезок BM до пересечения со стороной AC в точке D.
2. Рассмотрим треугольник ADC. В этом треугольнике AD + DC = AC.
3. Рассмотрим треугольник BDC. В этом треугольнике MB + MC < AB + AC.
4. В треугольнике MDC: MD + DC > MC.
5. В треугольнике ABD: AB + AD > BD = BM + MD.
6. Сложим эти неравенства: AB + AD + MD + DC > BM + MD + MC.
7. Сократим MD: AB + AD + DC > BM + MC.
8. Так как AD + DC = AC, то AB + AC > BM + MC.
9. Следовательно, MB + MC < AB + AC.

Ответ: доказано, что если точка M лежит внутри треугольника ABC, то MB + MC < AB + AC.