309 Из точки А к прямой а проведены перпендикуляр АН и на- клонные АМ₁ И АМ2. Докажите, что: а) если НМ₁ = HM2, το AM₁ = AM2; 1 б) если НМ₁ <HM2, TO AM₁ < AM2.

Доказательство:

а) Если HM₁ = HM₂, то AM₁ = AM₂.

1. Рассмотрим прямоугольные треугольники AHM₁ и AHM₂. У них AH - общий катет, и по условию HM₁ = HM₂.
2. По теореме Пифагора, в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Следовательно, AM₁² = AH² + HM₁² и AM₂² = AH² + HM₂².
3. Так как HM₁ = HM₂, то HM₁² = HM₂². Следовательно, AM₁² = AH² + HM₁² = AH² + HM₂² = AM₂².
4. Из AM₁² = AM₂² следует, что AM₁ = AM₂.

б) Если HM₁ < HM₂, то AM₁ < AM₂.

1. Аналогично, рассмотрим прямоугольные треугольники AHM₁ и AHM₂. У них AH - общий катет, и по условию HM₁ < HM₂.
2. По теореме Пифагора, AM₁² = AH² + HM₁² и AM₂² = AH² + HM₂².
3. Так как HM₁ < HM₂, то HM₁² < HM₂². Следовательно, AH² + HM₁² < AH² + HM₂², то есть AM₁² < AM₂².
4. Из AM₁² < AM₂² следует, что AM₁ < AM₂.

Ответ: доказано: а) если HM₁ = HM₂, то AM₁ = AM₂; б) если HM₁ < HM₂, то AM₁ < AM₂.