311* Докажите, что в треугольнике АВС медиана АМ меньше по- лусуммы сторон АВ и АС.

Пусть дан треугольник ABC и медиана AM. Нужно доказать, что AM < (AB + AC) / 2.

Доказательство:

1. Продлим медиану AM на отрезок MD = AM. Получим параллелограмм ABDC, так как диагонали AD и BC точкой M делятся пополам.
2. В параллелограмме ABDC противоположные стороны равны: AB = CD и AC = BD.
3. Рассмотрим треугольник ABD. В этом треугольнике AD < AB + BD (неравенство треугольника).
4. Так как AD = 2AM и BD = AC, то 2AM < AB + AC.
5. Разделим обе части неравенства на 2: AM < (AB + AC) / 2.

Ответ: доказано, что в треугольнике ABC медиана AM меньше полусуммы сторон AB и AC.