Вопрос:

305 На стороне AD треугольника ADC отме- чена точка В так, что BC = BD. Докажите, что прямая DC параллельна биссектрисе угла АВС.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Пусть дан треугольник ADC, на стороне AD отмечена точка B так, что BC = BD. Нужно доказать, что прямая DC параллельна биссектрисе угла ABC.

Доказательство:

  1. Так как BC = BD, то треугольник BCD - равнобедренный, и углы при основании CD равны: ∠BCD = ∠BDC.
  2. Пусть биссектриса угла ABC пересекает прямую DC в точке E. Обозначим угол между биссектрисой BE и стороной BC как ∠EBC, и угол между биссектрисой BE и стороной AB как ∠EBA. Так как BE - биссектриса, то ∠EBC = ∠EBA.
  3. Нам нужно доказать, что DC || BE. Для этого достаточно доказать равенство накрест лежащих углов при пересечении прямых DC и BE секущей BC, то есть доказать, что ∠EBC = ∠BCD.
  4. Рассмотрим треугольник ABC. Угол ∠ABC является внешним углом для треугольника BCD при вершине B. Следовательно, ∠ABC = ∠BDC + ∠BCD.
  5. Так как ∠BCD = ∠BDC, то ∠ABC = 2∠BCD.
  6. Так как BE - биссектриса угла ABC, то ∠EBC = 1/2 ∠ABC = 1/2 (2∠BCD) = ∠BCD.
  7. Таким образом, ∠EBC = ∠BCD. Следовательно, прямая DC параллельна биссектрисе угла ABC.

Ответ: доказано, что прямая DC параллельна биссектрисе угла ABC.

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю

Похожие