338. Докажите, что отрезок АВ является диаметром окружности (х – 5)² + + (y + 4)² = 17, если А (1; −5), В (9; -3).

Окружность (х – 5)² + (y + 4)² = 17 имеет центр в точке О(5; -4) и радиус $$r = \sqrt{17}$$.

Найдем координаты середины отрезка АВ:

$$x_0 = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{1 + 9}{2} = 5$$

$$y_0 = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{-5 + (-3)}{2} = -4$$

Итак, середина отрезка АВ имеет координаты (5; -4), что совпадает с координатами центра окружности О(5; -4). Следовательно, центр окружности лежит на отрезке АВ.

Найдем длину отрезка АВ:

$$AB = \sqrt{(9 - 1)^2 + ((-3) - (-5))^2} = \sqrt{8^2 + 2^2} = \sqrt{64 + 4} = \sqrt{68} = \sqrt{4 \cdot 17} = 2 \sqrt{17}$$

Так как длина отрезка АВ равна удвоенному радиусу окружности, то отрезок АВ является диаметром окружности.

Ответ: Отрезок AB является диаметром окружности.