342. Сколько существует окружностей, проходящих через точку (3; 5), радиусы которых равны 3\sqrt{5} и центры которых принадлежат оси ординат? Запишите уравнение каждой такой окружности.

Пусть центр окружности имеет координаты (0; b), так как он принадлежит оси ординат. Тогда уравнение окружности имеет вид: $$(x - 0)^2 + (y - b)^2 = (3\sqrt{5})^2$$, то есть $$x^2 + (y - b)^2 = 45$$.

Окружность проходит через точку (3; 5), поэтому координаты этой точки удовлетворяют уравнению окружности:

$$3^2 + (5 - b)^2 = 45$$

$$9 + (5 - b)^2 = 45$$

$$(5 - b)^2 = 36$$

$$5 - b = \pm 6$$

1) $$5 - b = 6$$

$$b = -1$$

Тогда уравнение окружности имеет вид: $$x^2 + (y + 1)^2 = 45$$

2) $$5 - b = -6$$

$$b = 11$$

Тогда уравнение окружности имеет вид: $$x^2 + (y - 11)^2 = 45$$

Таким образом, существует 2 окружности, удовлетворяющие условиям задачи.

Ответ: 2 окружности: $$x^2 + (y + 1)^2 = 45$$ и $$x^2 + (y - 11)^2 = 45$$.