17.13. Докажите, что отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой, лежащей на противолежащей стороне, не больше хотя бы одной из двух других сторон.

Ответ: Доказательство приведено ниже.

Пусть дан треугольник ABC, и D — произвольная точка на стороне BC. Надо доказать, что отрезок AD не больше хотя бы одной из сторон AB или AC.

Допустим, AD больше обеих сторон, то есть AD > AB и AD > AC.

Рассмотрим треугольник ABD. По неравенству треугольника, сумма двух сторон должна быть больше третьей стороны: AB + BD > AD. Но так как мы предположили, что AD > AB, то неравенство AB + BD > AD не выполняется, потому что заменив AD на большее значение, чем AB, получим AB + BD > AB, что не всегда верно.

Аналогично, для треугольника ACD: AC + CD > AD. Но так как мы предположили, что AD > AC, то неравенство AC + CD > AD также не выполняется.

Таким образом, наше предположение, что AD больше обеих сторон, неверно. Следовательно, AD не больше хотя бы одной из сторон AB или AC, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство приведено выше.