17.18. Докажите, что в треугольнике любая сторона меньше половины периметра.

Ответ: Доказательство приведено ниже.

Пусть дан треугольник со сторонами a, b и c. Периметр этого треугольника равен P = a + b + c.

Нужно доказать, что каждая сторона меньше половины периметра. Это означает, что нужно доказать три неравенства:

• a < P/2
• b < P/2
• c < P/2

Рассмотрим первое неравенство: a < P/2. Заменим P на a + b + c: a < (a + b + c)/2

Умножим обе части неравенства на 2: 2a < a + b + c

Вычтем a из обеих частей: a < b + c

Это неравенство верно, так как по неравенству треугольника сумма двух сторон треугольника всегда больше третьей стороны. Таким образом, a < b + c.

Аналогично можно доказать и для других сторон:

• b < a + c
• c < a + b

Таким образом, мы доказали, что каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон, и следовательно, меньше половины периметра.

Ответ: Доказательство приведено выше.