445. Докажите, что прямая х - у = 4 имеет одну общую точку с параболой у = х² - 5x + 5, и найдите координаты этой общей точки.

Выразим $$x$$ через $$y$$ из уравнения прямой: $$x = y + 4$$.

Подставим значение $$x$$ в уравнение параболы: $$y = (y + 4)^2 - 5(y + 4) + 5$$; $$y = y^2 + 8y + 16 - 5y - 20 + 5$$; $$y = y^2 + 3y + 1$$.

Приведем уравнение к стандартному виду: $$y^2 + 3y + 1 - y = 0$$; $$y^2 + 2y + 1 = 0$$.

Найдем дискриминант квадратного уравнения: $$D = b^2 - 4ac = (2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 4 - 4 = 0$$.

Т.к. дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один корень, следовательно, прямая касается параболы в одной точке.

Найдем координаты точки касания, вычислив корень квадратного уравнения: $$y = \frac{-b}{2a} = \frac{-2}{2 \cdot 1} = -1$$.

Подставим значение $$y$$ в уравнение прямой: $$x = -1 + 4 = 3$$.

Координаты точки касания: $$(3; -1)$$.

Ответ: Прямая касается параболы в одной точке с координатами $$(3; -1)$$.