447. Решите способом подстановки систему уравнений: a) x² + y² = 12, xy = -6; 6) 2x² - y² = 34, xy = 20.

a) Решим систему уравнений:

$$\begin{cases} x^2 + y^2 = 12 \\ xy = -6 \end{cases}$$

Выразим $$y$$ через $$x$$ из второго уравнения: $$y = -\frac{6}{x}$$.

Подставим значение $$y$$ в первое уравнение: $$x^2 + (-\frac{6}{x})^2 = 12$$; $$x^2 + \frac{36}{x^2} = 12$$; $$x^4 + 36 = 12x^2$$; $$x^4 - 12x^2 + 36 = 0$$.

Замена переменной: $$t = x^2$$, тогда уравнение примет вид: $$t^2 - 12t + 36 = 0$$.

Найдем дискриминант квадратного уравнения: $$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 144 - 144 = 0$$.

Т.к. дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один корень: $$t = \frac{-b}{2a} = \frac{12}{2 \cdot 1} = 6$$.

Вернемся к переменной $$x$$: $$x^2 = 6$$; $$x_1 = \sqrt{6}$$; $$x_2 = -\sqrt{6}$$.

Подставим значения $$x_1$$ и $$x_2$$ в уравнение $$y = -\frac{6}{x}$$: $$y_1 = -\frac{6}{\sqrt{6}} = -\sqrt{6}$$; $$y_2 = -\frac{6}{-\sqrt{6}} = \sqrt{6}$$.

Решения системы уравнений: $$(\sqrt{6}; -\sqrt{6})$$ и $$(-\sqrt{6}; \sqrt{6})$$.

б) Решим систему уравнений:

$$\begin{cases} 2x^2 - y^2 = 34 \\ xy = 20 \end{cases}$$

Выразим $$y$$ через $$x$$ из второго уравнения: $$y = \frac{20}{x}$$.

Подставим значение $$y$$ в первое уравнение: $$2x^2 - (\frac{20}{x})^2 = 34$$; $$2x^2 - \frac{400}{x^2} = 34$$; $$2x^4 - 400 = 34x^2$$; $$2x^4 - 34x^2 - 400 = 0$$; $$x^4 - 17x^2 - 200 = 0$$.

Замена переменной: $$t = x^2$$, тогда уравнение примет вид: $$t^2 - 17t - 200 = 0$$.

Найдем дискриминант квадратного уравнения: $$D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-200) = 289 + 800 = 1089$$.

Найдем корни квадратного уравнения: $$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 + \sqrt{1089}}{2 \cdot 1} = \frac{17 + 33}{2} = \frac{50}{2} = 25$$; $$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 - \sqrt{1089}}{2 \cdot 1} = \frac{17 - 33}{2} = \frac{-16}{2} = -8$$.

Вернемся к переменной $$x$$: $$x^2 = 25$$ или $$x^2 = -8$$.

$$x^2 = 25$$: $$x_1 = 5$$; $$x_2 = -5$$.

$$x^2 = -8$$: уравнение не имеет действительных корней.

Подставим значения $$x_1$$ и $$x_2$$ в уравнение $$y = \frac{20}{x}$$: $$y_1 = \frac{20}{5} = 4$$; $$y_2 = \frac{20}{-5} = -4$$.

Решения системы уравнений: $$(5; 4)$$ и $$(-5; -4)$$.

Ответ: a) $$(\sqrt{6}; -\sqrt{6})$$ и $$(-\sqrt{6}; \sqrt{6})$$; б) $$(5; 4)$$ и $$(-5; -4)$$.