444. Не выполняя построения: а) определите, пересекает ли парабола у = х² - 8х + 16 прямую 2х - Зу = 0 и если да, то в каких точках; б) найдите, B каких точках пересекаются окружность (x-5)² + (y - 4)2 = 65 и прямая 3х-у+6=0.

а) Определим, пересекает ли парабола $$y = x^2 - 8x + 16$$ прямую $$2x - 3y = 0$$.

Выразим $$x$$ через $$y$$ из уравнения прямой: $$2x = 3y$$; $$x = \frac{3}{2}y$$.

Подставим значение $$x$$ в уравнение параболы: $$y = (\frac{3}{2}y)^2 - 8(\frac{3}{2}y) + 16$$.

Приведем уравнение к стандартному виду: $$y = \frac{9}{4}y^2 - 12y + 16$$; $$9y^2 - 48y + 64 - 4y = 0$$; $$9y^2 - 52y + 64 = 0$$.

Найдем дискриминант квадратного уравнения: $$D = b^2 - 4ac = (-52)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 64 = 2704 - 2304 = 400$$.

Т.к. дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два корня, следовательно, парабола и прямая пересекаются в двух точках.

Найдем координаты точек пересечения, вычислив корни квадратного уравнения: $$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{52 + \sqrt{400}}{2 \cdot 9} = \frac{52 + 20}{18} = \frac{72}{18} = 4$$; $$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{52 - \sqrt{400}}{2 \cdot 9} = \frac{52 - 20}{18} = \frac{32}{18} = \frac{16}{9}$$.

Подставим значения $$y_1$$ и $$y_2$$ в уравнение $$x = \frac{3}{2}y$$: $$x_1 = \frac{3}{2} \cdot 4 = 6$$; $$x_2 = \frac{3}{2} \cdot \frac{16}{9} = \frac{8}{3}$$.

Координаты точек пересечения: $$(6; 4)$$ и $$(\frac{8}{3}; \frac{16}{9})$$.

б) Найдем точки пересечения окружности $$(x-5)^2 + (y-4)^2 = 65$$ и прямой $$3x - y + 6 = 0$$.

Выразим $$y$$ через $$x$$ из уравнения прямой: $$y = 3x + 6$$.

Подставим значение $$y$$ в уравнение окружности: $$(x-5)^2 + (3x + 6 - 4)^2 = 65$$; $$(x-5)^2 + (3x + 2)^2 = 65$$; $$x^2 - 10x + 25 + 9x^2 + 12x + 4 = 65$$; $$10x^2 + 2x + 29 - 65 = 0$$; $$10x^2 + 2x - 36 = 0$$; $$5x^2 + x - 18 = 0$$.

Найдем дискриминант квадратного уравнения: $$D = b^2 - 4ac = (1)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-18) = 1 + 360 = 361$$.

Т.к. дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два корня, следовательно, окружность и прямая пересекаются в двух точках.

Найдем координаты точек пересечения, вычислив корни квадратного уравнения: $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{361}}{2 \cdot 5} = \frac{-1 + 19}{10} = \frac{18}{10} = \frac{9}{5} = 1.8$$; $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{361}}{2 \cdot 5} = \frac{-1 - 19}{10} = \frac{-20}{10} = -2$$.

Подставим значения $$x_1$$ и $$x_2$$ в уравнение $$y = 3x + 6$$: $$y_1 = 3 \cdot 1.8 + 6 = 5.4 + 6 = 11.4$$; $$y_2 = 3 \cdot (-2) + 6 = -6 + 6 = 0$$.

Координаты точек пересечения: $$(1.8; 11.4)$$ и $$(-2; 0)$$.

Ответ: а) Парабола и прямая пересекаются в точках $$(6; 4)$$ и $$(\frac{8}{3}; \frac{16}{9})$$; б) Окружность и прямая пересекаются в точках $$(1.8; 11.4)$$ и $$(-2; 0)$$.