448. Решите систему уравнений, используя способ сложения: a) (x² - 2y² = 14, x² + 2y² = 18; 6) x² + y² = 61, x² - y² = 11; в) ху + x = 56, xy + y = 54.

a) Решим систему уравнений:

$$\begin{cases} x^2 - 2y^2 = 14 \\ x^2 + 2y^2 = 18 \end{cases}$$

Сложим оба уравнения: $$x^2 - 2y^2 + x^2 + 2y^2 = 14 + 18$$; $$2x^2 = 32$$; $$x^2 = 16$$; $$x_1 = 4$$; $$x_2 = -4$$.

Подставим значения $$x_1$$ и $$x_2$$ в первое уравнение: $$(4)^2 - 2y^2 = 14$$; $$16 - 2y^2 = 14$$; $$2y^2 = 2$$; $$y^2 = 1$$; $$y_1 = 1$$; $$y_2 = -1$$. $$(-4)^2 - 2y^2 = 14$$; $$16 - 2y^2 = 14$$; $$2y^2 = 2$$; $$y^2 = 1$$; $$y_3 = 1$$; $$y_4 = -1$$.

Решения системы уравнений: $$(4; 1)$$, $$(4; -1)$$, $$(-4; 1)$$, $$(-4; -1)$$.

б) Решим систему уравнений:

$$\begin{cases} x^2 + y^2 = 61 \\ x^2 - y^2 = 11 \end{cases}$$

Сложим оба уравнения: $$x^2 + y^2 + x^2 - y^2 = 61 + 11$$; $$2x^2 = 72$$; $$x^2 = 36$$; $$x_1 = 6$$; $$x_2 = -6$$.

Подставим значения $$x_1$$ и $$x_2$$ в первое уравнение: $$(6)^2 + y^2 = 61$$; $$36 + y^2 = 61$$; $$y^2 = 25$$; $$y_1 = 5$$; $$y_2 = -5$$. $$(-6)^2 + y^2 = 61$$; $$36 + y^2 = 61$$; $$y^2 = 25$$; $$y_3 = 5$$; $$y_4 = -5$$.

Решения системы уравнений: $$(6; 5)$$, $$(6; -5)$$, $$(-6; 5)$$, $$(-6; -5)$$.

в) Решим систему уравнений:

$$\begin{cases} xy + x = 56 \\ xy + y = 54 \end{cases}$$

Вычтем из первого уравнения второе: $$xy + x - xy - y = 56 - 54$$; $$x - y = 2$$; $$x = y + 2$$.

Подставим значение $$x$$ во второе уравнение: $$(y + 2)y + y = 54$$; $$y^2 + 2y + y = 54$$; $$y^2 + 3y - 54 = 0$$.

Найдем дискриминант квадратного уравнения: $$D = b^2 - 4ac = (3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-54) = 9 + 216 = 225$$.

Найдем корни квадратного уравнения: $$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 15}{2} = \frac{12}{2} = 6$$; $$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 15}{2} = \frac{-18}{2} = -9$$.

Подставим значения $$y_1$$ и $$y_2$$ в уравнение $$x = y + 2$$: $$x_1 = 6 + 2 = 8$$; $$x_2 = -9 + 2 = -7$$.

Решения системы уравнений: $$(8; 6)$$ и $$(-7; -9)$$.

Ответ: a) $$(4; 1)$$, $$(4; -1)$$, $$(-4; 1)$$, $$(-4; -1)$$; б) $$(6; 5)$$, $$(6; -5)$$, $$(-6; 5)$$, $$(-6; -5)$$; в) $$(8; 6)$$ и $$(-7; -9)$$.