Докажите, что треугольник ABC равнобедренный (рис. 9). На сторонах AD и DC отмечены равные соответствующие отрезки: DE = DF и AE = FC; отрезки AF и CE пересекаются в B.

Из DE = DF и AE = FC следует AD = AE + ED = FC + FD = DC. Значит, треугольник ADC равнобедренный с AD = DC. Также точки E и F расположены на равных сторонах на равных расстояниях от D. Поэтому соответствующие треугольники ADE и CDF равны по двум сторонам и углу между ними; отражение относительно оси симметрии треугольника ADC переводит A в C и E в F. Прямые AF и CE переходят одна в другую, а их точка пересечения B остаётся на оси симметрии. Следовательно, BA = BC.

Ответ: треугольник ABC равнобедренный, AB = BC.