24. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный, если у него: 1) медиана BD является высотой; 2) высота BD является бис-сектрисой; 3) биссектриса BD является медианой.

Доказательство:

1) Если медиана BD является высотой, то AD = DC и ∠ADB = ∠CDB = 90°. Рассмотрим треугольники ABD и CBD. У них:

• BD - общая сторона
• AD = DC (так как BD - медиана)
• ∠ADB = ∠CDB = 90°

Следовательно, треугольники ABD и CBD равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, AB = BC, и треугольник ABC равнобедренный.

2) Если высота BD является биссектрисой, то ∠ADB = ∠CDB = 90° и ∠ABD = ∠CBD. Рассмотрим треугольники ABD и CBD. У них:

• BD - общая сторона
• ∠ADB = ∠CDB = 90°
• ∠ABD = ∠CBD (так как BD - биссектриса)

Следовательно, треугольники ABD и CBD равны по стороне и двум прилежащим углам. Значит, AB = BC, и треугольник ABC равнобедренный.

3) Если биссектриса BD является медианой, то AD = DC и ∠ABD = ∠CBD. Рассмотрим треугольники ABD и CBD. У них:

• BD - общая сторона
• AD = DC (так как BD - медиана)
• ∠ABD = ∠CBD (так как BD - биссектриса)

Следовательно, треугольники ABD и CBD равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, AB = BC, и треугольник ABC равнобедренный.

Ответ: доказано