19. Докажите, что у равнобедренного треугольника: 1) биссектри-сы, проведённые из вершин при основании, равны; 2) медиа-ны, проведённые из тех же вершин, тоже равны.

Доказательство:

1) Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. Пусть BD и BE - биссектрисы, проведенные из вершин B к сторонам AC. Докажем, что BD = BE.

Так как треугольник ABC равнобедренный, то углы при основании равны: ∠BAC = ∠BCA. Поскольку BD и BE - биссектрисы, они делят углы ∠BAC и ∠BCA пополам, следовательно, ∠BAD = ∠DAE = ∠EAC и ∠BCE = ∠ECF = ∠FCA. Таким образом, ∠BAD = ∠BCE.

Рассмотрим треугольники ABD и CBE. У них:

• AB = BC (как боковые стороны равнобедренного треугольника)
• ∠BAD = ∠BCE (доказано выше)
• ∠ABD = ∠CBE (так как BD и BE - биссектрисы)

Следовательно, треугольники ABD и CBE равны по углу и стороне. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: BD = BE, что и требовалось доказать.

2) Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. Пусть BM и BN - медианы, проведенные из вершин B к сторонам AC. Докажем, что BM = BN.

Так как треугольник ABC равнобедренный, то AB = BC. Поскольку BM и BN - медианы, они делят стороны AC пополам: AM = MC и AN = NC. Таким образом, AM = AN.

Рассмотрим треугольники ABM и CBN. У них:

• AB = BC (как боковые стороны равнобедренного треугольника)
• AM = CN (доказано выше)
• ∠BAC = ∠BCA (углы при основании равнобедренного треугольника)

Следовательно, треугольники ABM и CBN равны по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: BM = BN, что и требовалось доказать.

Ответ: доказано