21. Точки А, В, С, D лежат на одной прямой, причём отрезки АВ и CD имеют общую середину. Докажите, что если треугольник АВЕ равнобедренный с основанием АВ, то треугольник CDE тоже равнобедренный с основанием CD (рис. 64).

Доказательство:

Пусть O - общая середина отрезков AB и CD. Тогда AO = OB и CO = OD. Так как треугольник ABE равнобедренный с основанием AB, то AE = BE и ∠EAB = ∠EBA.

Рассмотрим треугольники AOE и BOE. У них:

• AO = OB (по условию)
• EO - общая сторона
• AE = BE (так как треугольник ABE равнобедренный)

Следовательно, треугольники AOE и BOE равны по трем сторонам. Значит, ∠AOE = ∠BOE.

Так как точки A, O, C и B, O, D лежат на одной прямой, то ∠AOC = ∠BOD как вертикальные углы. Также ∠COE = ∠DOE.Теперь рассмотрим треугольники COE и DOE. У них:

• CO = OD (по условию)
• OE - общая сторона
• ∠COE = ∠DOE (доказано выше)

Следовательно, треугольники COE и DOE равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, CE = DE, а это означает, что треугольник CDE равнобедренный с основанием CD, что и требовалось доказать.

Ответ: доказано