20. Докажите, что у равных треугольников АВС и А₁В₁С₁: 1) ме-дианы, проведённые из вершин А и А₁, равны; 2) биссектри-сы, проведённые из вершин А и А₁, равны.

Доказательство:

1) Пусть ABC и A₁B₁C₁ - равные треугольники, и AM и A₁M₁ - медианы, проведенные из вершин A и A₁ соответственно. Так как треугольники равны, то AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, и ∠A = ∠A₁.

Медиана делит сторону пополам, поэтому BM = MC = (1/2)BC и B₁M₁ = M₁C₁ = (1/2)B₁C₁. Поскольку BC = B₁C₁, то BM = B₁M₁.

Рассмотрим треугольники ABM и A₁B₁M₁. У них:

• AB = A₁B₁ (по условию)
• BM = B₁M₁ (доказано выше)
• ∠B = ∠B₁ (так как треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны)

Таким образом, треугольники ABM и A₁B₁M₁ равны по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AM = A₁M₁, что и требовалось доказать.

2) Пусть ABC и A₁B₁C₁ - равные треугольники, и AD и A₁D₁ - биссектрисы, проведенные из вершин A и A₁ соответственно. Так как треугольники равны, то AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, и ∠A = ∠A₁.

Биссектриса делит угол пополам, поэтому ∠BAD = (1/2)∠A и ∠B₁A₁D₁ = (1/2)∠A₁. Следовательно, ∠BAD = ∠B₁A₁D₁.

Рассмотрим треугольники ABD и A₁B₁D₁. У них:

• AB = A₁B₁ (по условию)
• ∠BAD = ∠B₁A₁D₁ (доказано выше)
• ∠B = ∠B₁ (так как треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны)

Таким образом, треугольники ABD и A₁B₁D₁ равны по стороне и двум прилежащим углам. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AD = A₁D₁, что и требовалось доказать.

Ответ: доказано