170 Докажите, что треугольники АВС и А1В1С1 равны, ес AB = A₁B₁, ∠A = ∠A1, AD = A₁D1, где AD и A1D1 - биссект сы треугольников.

Дано: ΔABC и ΔA₁B₁C₁, AB = A₁B₁, ∠A = ∠A₁, AD и A₁D₁ - биссектрисы, AD = A₁D₁.

Доказать: ΔABC = ΔA₁B₁C₁.

Доказательство:

1) Рассмотрим треугольники ABD и A₁B₁D₁: AB = A₁B₁, AD = A₁D₁, ∠BAD = ∠B₁A₁D₁ (так как AD и A₁D₁ - биссектрисы, а ∠A = ∠A₁).

Следовательно, ΔABD = ΔA₁B₁D₁ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

2) Из равенства треугольников следует, что ∠ABD = ∠A₁B₁D₁. Значит, ∠B = ∠B₁.

3) Рассмотрим треугольники ABC и A₁B₁C₁: AB = A₁B₁, ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁.

Следовательно, ΔABC = ΔA₁B₁C₁ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам).

Ответ: Треугольники АВС и А1В1С1 равны, что и требовалось доказать.